Variationsrechnung und Anwendungen: Hochschultext

1. Elemente der Variationsrechnung.- 1.1 Eine elementare Einführung in Extremalprobleme.- 1.2 Die einfachste Variationsaufgabe; notwendige Bedingungen: Die Eulersche Gleichung.- 1.3 Das isoperimetrische Problem als Extremwertaufgabe unter Nebenbedingungen. Eine Anwendung der Lagrange’schen Multiplikatoren.- 1.4 Hinreichende Bedingungen zur Existenz schwacher Extrema.- 1.5 Einführung in die Theorie der starkenx Extrema. Die Hamilton-Jakobi’sche Gleichung.- 1.6 Funktionalanalytische Grundlagen der Variationsrechnung.- 1.7 Funktionale und Operatoren in Banach- und Hilbert-Räumen.- 1.8 Die Verallgemeinerung der einfachsten Variationsaufgabe auf Banach- und Hilbert-Räumen.- 2. Mehrdimensionale, von höheren Ableitungen abhängige Variationsprobleme oder Probleme mit variablen Gebieten.- 2.1 Mehrdimensionale Variationsprobleme ohne höhere Ableitungen.- 2.2 Funktionale, die Ableitungen höherer Ordnung enthalten.- 2.3 Variationsaufgaben bei variablen Gebieten.- 2.4 Gebrochene extremale und variable Endpunkte. Die Transversalitäts-bedingungen.- 2.5 Extremalwertaufgaben mit variablen Gebieten, die nur von Ableitungen 1. Ordnung abhängen.- 2.6 Der Satz von Noether und seine Implikationen.- 2.7 Extremalwertaufgaben mit variablem Gebiet und Ableitungen höherer Ordnung.- 3. Spezielle Anwendungen in Physik und Elektrotechnik.- 3.1 Das Hamilton-Prinzip und stetige mechanische Systeme.- 3.2 Die Schwingungsgleichnung für eingespannte Saiten, Membrane, Stäbe und Platten.- 3.3 Die Herleitung der Maxwellschen Gleichungen der klassischen Elektrodynomik aus dem Variationsprinzip.- 3.4 Die Grundlagen der Variation von Potentialen. Die Prinzipien von Dirichlet und Thomson.- 3.5 Die Zustandsanalyse eines Systems mit zwei oder mehreren Energiearten.- 3.6 Die Berechnung derKapazität und der Induktivität des Systems.- 3.7 Variationsmethoden in der modernen Physik. Die Variationsherleitung der Schrödinger, Klein-Gordon und Dirac-Gleichung mit Variationsmethoden.- 4. Einführung in die Variationsmethoden der komplexen Analysis und in die geometrischen und direkten Methoden.- 4.1 Überblick über die notwendigen Voraussetzungen aus der komplexen Analysis.- 4.2 Ein Überblick über die grundlegenden Ereignisse der Integrationstheorie.- 4.3 Variationen, die Analytizität und Konformität erhalten.- 4.4 Variationen, die die Quasikonformität erhalten.- 4.5 Einführung in die geometrischen Methoden der Variationsrechnung.- 4.6 Die Technik der Riemann’schen Flächen in der Variationsrechnung und ihre Interpretation in der Theorie der Elektromagnetismus.- 4.7 Eine Einführung in direkte Methoden und einige numerische Rechenbeispiele.- 4.8 Weitere Anwendungsbeispiele aus der Physik und der Elektrotechnik.- 5. Einführung in die Mathematische Programmierung.- 5.1 Die klassischen Lösungsmethoden für Variationsaufgaben auf der Grundlage der natürlichen Extremalgleichungen.- 5.2 Die Übertragung der Methode der natürlichen Gleichungen auf diskrete Prozesse.- 5.3 Das allgemeine Prinzip der linearen und nicht-linearen Programmierung.- 5.4 Die Übertragung auf Vektorräume: Das allgemeine Prinzip der mathematischen Programmierung.- 5.5 Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Extrema.- 5.6 Die grundlegenden Prinzipien der optimalen Steuerung. Das Pontrjagin’sche Maximum-Prinzip.- 5.7 Die Optimierung linearer Steuerungs-Systeme.- 5.8 Das Bellman’sche Optimalitätsprinzip in der dynamischen Programmierung. Die geometrische Darstellung von Steuerungsproblemen.- 5.9 Eine Einführung in die numerische Lösungsverfahren.- 5.10Anwendungsbeispiele aus der Elektrotechnik und der Automatisierungs-theorie.- Lösungshinweise.- Literatur.