Elementare Methoden der numerischen Mathematik

1. Einführung.- 1.1. Numerische Berechnungen und. Fehlertypen.- 1.1.1. Datenfehler.- 1.1.2. Rundungsfehler.- 1.1.3. Verfahrensfehler.- 1.1.4. Fehlerfortpflanzung.- 1.1.5. Numerische Instabilität.- 1.1.6. Intervallarithmetik.- 1.2. Funktionalanalytische Grundlagen.- 1.2.1. Räume.- 1.2.2. Abbildungen.- 1.2.3. Iteration.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.1. Problemstellung.- 2.2. Direkte Verfahren.- 2.2.1. Austauschalgorithmus.- 2.2.2. Gaussscher Algorithmus.- 2.3. Fehlerbetrachtimgen, Pivotisierung und Kondition.- 2.3.1. Pivotisierung.- 2.3.2. Kondition.- 2.3.3. Kontroll-Korrektur-Algorithmus.- 2.4. Elementare Iterationsverfahren.- 2.4.1. Jacobi-Verfahren.- 2.4.2. Gauss-Seidel-Verfahren.- 2.4.3. Relaxationsverfahren.- 2.4.4. Konvergenzbedingungen.- 2.5. Projektions verfahren.- 2.5.1. Konvergenzbeweis.- 2.5.2. Projektion auf Hyperebenen.- 2.5.3. Projektion auf Schnitträume von Hyperebenen.- 2.5.4. Projektion mit allgemeinem Skalarprodukt.- 2.5.5. Gauss-Seidel-Verfahren.- 2.5.6. Gradientenverfahren.- 2.5.7. Verfahren der konjugierten Gradienten.- 2.6. Spaltenapproximation.- 3. Nichtlineare Gleichungen.- 3.1. Problemstelhing. Geometrische Deutung.- 3.2. Iterationsverfahren: Newton, Regula falsi, Steffensen.- 3.2.1. Vereinfachtes Newton-Verfahren.- 3.2.2. Newton-Verfahren.- 3.2.3. Newton-Verfahren für mehrfache Nullstellen.- 3.2.4. Regula falsi.- 3.2.5. Konvergenzverhesserung nach Steffensen.- 3.3. Polynomgleichungen.- 3.3.1. Horner-Schema.- 3.3.2. Verbessertes Newton-Verfahren.- 3.3.3. Zweizeiliges Horner-Schema.- 3.3.4. Bairstow-Verfahren.- 3.3.5. Abschätzungen für Polynomnullstellen.- 3.3.6. Quotienten-Differenzen-Algorithmus.- 3.4. Systeme nichtlinearer Gleichungen.- 3.4.1. Newton-Verfahren.- 3.4.2. Regula falsi.- 4. Eigenwertprobleme.- 4.1. Direkte Methode.- 4.2. Potenzmethode.- 4.3. Jacobi-Verfahren.- 5. Interpolation.- 5.1. Problemstellung und Haarsche Bedingung.- 5.2. Explizite Darstellungen der Interpolationsfunktion.- 5.2.1. Lagrangesche Interpolationsformel.- 5.2.2. Newtonsche Interpolationsformel.- 5.2.3. Nevillescher Algorithmus.- 5.3. Interpolationsfehler und Konvergenz.- 5.4. Intervallweise Interpolation und Splines.- 5.4.1. Intervallweise lineare Interpolation.- 5.4.2. Intervallweise Hermite-Interpolation.- 5.4.3. Spline-Interpolation.- 6. Approximation.- 6.1. Problemstellung.- 6.2. Approximation im Mittel.- 6.3. Gleichmäßige Approximation.- 6.4. Methode der kleinsten Quadrate.- 7. Integration.- 7.1. Problemstellung.- 7.2. Newton-Cotes-Formeln.- 7.2.1. Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln.- 7.2.2. ROmberg-Verfahren.- 7.3. Gauss-Quadraturen.- 7.4. Intervall-Quadraturen.- 7.5. Vergleich der Quadraturverfahren.- 7.6. Integralgleichungen.- 8. Differentialgleichungen, Anfangswertprobleme.- 8.1. Problemstellung. Geometrische Deutung.- 8.2. Runge-Kutta-Methoden.- 8.2.1. Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren.- 8.2.2. Verfahren von Euler-Heun.- 8.2.3. Verfahren von Runge-Kutta.- 8.2.4. Verfahren von Runge-Kutta-Fehlberg.- 8.3. Taylor-Entwicklung.- 8.4. Differenzenmethoden.- 8.5. Verwendung von Ableitungen.- 8.6. Stabilität.- 8.6.1. Instabile Lösungen.- 8.6.2. Numerische Stabilität.- 9. Differentialgleichungen. Randwertprobleme.- 9.1. Numerische Differentiation.- 9.2. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 9.2.1. Zurückführung auf ein Anfangswertproblem.- 9.2.2. Differenzenverfahren.- 9.3. Partielle Differentialgleichungen.- 10. Literatur.- 11. Namen- und Sachverzeichnis.