Moduln und Ringe: Mathematische Leitfäden

1 Einige Grundbegriffe über Kategorien.- 1.1 Definition von Kategorien.- 1.2 Beispiele für Kategorien.- 1.3 Funktoren.- 1.4 Funktorielle Morphismen und adjungierte Funktoren.- 1.5 Produkte und Koprodukte.- Übungen zu Kapitel 1.- 2 Moduln, Untermoduln und Faktormoduln.- 2.1 Voraussetzungen.- 2.2 Untermoduln und Ideale.- 2.3 Durchschnitt und Summe von Untermoduln.- 2.4 Innere direkte Summen.- 2.5 Faktormoduln und Faktorringe.- Übungen zu Kapitel 2.- 3 Homomorphismen von Moduln und Ringen.- 3.1 Definitionen und einfache Eigenschaften.- 3.2 Ringhomomorphismen.- 3.3 Generatoren und Kogeneratoren.- 3.4 Produktzerlegung von Homomorphismen.- 3.5 Der Satz von Jordan-Hölder-Schreier.- 3.6 Funktoreigenschaften von Hom.- 3.7 Der Endomorphismenring eines Moduls.- 3.8 Duale Moduln.- 3.9 Exakte Folgen.- Übungen zu Kapitel 3.- 4 Direkte Produkte, direkte Summen, freie Moduln.- 4.1 Konstruktion von Produkten und Koprodukten.- 4.2 Zusammenhang zwischen der äußeren und inneren direkten Summe.- 4.3 Homomorphismen von direkten Produkten und Summen.- 4.4 Freie Moduln.- 4.5 Freie und teilbare abelsche Gruppen.- 4.6 Monoidringe.- 4.7 Fasersumme und Faserprodukt.- 4.8 Eine Kennzeichnung von Generatoren und Kogeneratoren.- Übungen zu Kapitel 4.- 5 Injektive und projektive Moduln.- 5.1 Kleine und große Untermoduln.- 5.2 Komplemente.- 5.3 Definition injektiver und projektiver Moduln und einfache Folgerungen.- 5.4 Projektive Moduln.- 5.5 Injektive Moduln.- 5.6 Injektive und projektive Hüllen.- 5.7 Das Baersche Kriterium.- 5.8 Weitere Kennzeichnungen und Eigenschaften von Generatoren und Kogeneratoren.- Übungen zu Kapitel 5.- 6 Artinsche und noethersche Moduln.- 6.1 Definitionen und Charakterisierungen.- 6.2 Beispiele.- 6.3 Der Hilbertsche Basissatz.- 6.4 Endomorphismen von artinschenund noetherschen Moduln.- 6.5 Eine Kennzeichnung von noetherschen Ringen.- 6.6 Zerlegung injektiver Moduln über noetherschen und artinschen Ringen.- Übungen zu Kapitel 6.- 7 Lokale Ringe, der Satz von Krull-Remak-Schmidt.- 7.1 Lokale Ringe.- 7.2 Lokale Endomorphismenringe.- 7.3 Der Satz von Krull-Remak-Schmidt.- Übungen zu Kapitel 7.- 8 Halbeinfache Moduln und Ringe.- 8.1 Definition und Kennzeichnung.- 8.2 Halbeinfache Ringe.- 8.3 Struktur der einfachen Ringe mit einem einfachen einseitigen Ideal.- 8.4 Der Dichtesatz.- Übungen zu Kapitel 8.- 9 Radikal und Sockel.- 9.1 Definition von Radikal und Sockel.- 9.2 Weitere Eigenschaften des Radikals.- 9.3 Das Radikal eines Ringes.- 9.4 Kennzeichnung endlich erzeugter und endlich koerzeugter Moduln.- 9.5 Zur Kennzeichnung von artinschen und noetherschen Ringen.- 9.6 Das Radikal des Endomorphismenringes eines injektiven oder projektiven Moduls.- 9.7 Gute Ringe.- Übungen zu Kapitel 9.- 10 Das Tensorprodukt, flache Moduln und reguläre Ringe.- 10.1 Definition und Faktorisierungseigenschaft.- 10.2 Weitere Eigenschaften des Tensorproduktes.- 10.3 Funktoreigenschaften des Tensorproduktes.- 10.4 Flache Moduln und reguläre Ringe.- 10.5 Flache Faktormoduln von flachen Moduln.- Übungen zu Kapitel 10.- 11 Semi-perfekte Moduln und perfekte Ringe.- 11.1 Semi-perfekte Moduln, Grundbegriffe.- 11.2 Hochheben von direkten Zerlegungen.- 11.3 Hauptsatz über projektive, semi-perfekte Moduln.- 11.4 Direkt unzerlegbare semi-perfekte Moduln.- 11.5 Eigenschaften von Nilidealen und von t-nilpotenten Idealen.- 11.6 Perfekte Ringe.- Übungen zu Kapitel 11.- 12 Ringe mit vollkommener Dualität.- 12.1 Einleitung und Formulierung des Hauptsatzes.- 12.2 Dualitätseigenschaften.- 12.3 Seitenwechsel.- 12.4 Annullatoreigenschaften.- 12.5 Injektivitätund Kogeneratoreigenschaften eines Ringes.- 12.6 Beweis des Hauptsatzes.- Übungen zu Kapitel 12.- 13 Quasi-Frobeniusringe.- 13.1 Einleitung.- 13.2 Definition und Hauptsatz.- 13.3 Dualitätseigenschaften von Quasi-Frobeniusringen.- 13.4 Die klassische Definition.- 13.5 Quasi-Frobeniusalgebren.- 13.6 Kennzeichnung von Quasi-Frobeniusringen.- Übungen zu Kapitel 13.- Literaturhinweise.- Lehrbücher über Ringe und Moduln.- Literatur zu den Kapiteln 11 bis 13.- Namen- und Sachverzeichnis.