Das Wesen der Mathematik: Die Wissenschaft, cartea 102

Erstes Kapitel: Die Logik im Aufbau der Mathematik.- 1. Grundbegriffe der Logik.- 2. Der Begriff.- 3. Verhältnisse zweier Begriffe.- 4. Begriffsreihen.- 5. Definitionen.- 6. Einige Forderungen an die Definitionen.- 7. Erweiterung von Definitionen.- 8. Einführung idealer Elemente.- 9. Definitionsfehler.- 10. Namen und Zeichen für Begriffe.- 11. Urteil.- 12. Andere Arten von Urteilen.- 13. Art und Herkunft der Urteile.- 14. Vier logische Grundgesetze.- 15. Unmittelbare Schlüsse.- 16. Mittelbare Schlüsse.- 17. Induktive und deduktive Methode.- 18. Der Beweis.- 19. Beweisfehler.- 20. Notwendige und hinreichende Bedingung und Umkehrung von Lehrsätzen.- 21. Direkte und indirekte Beweise.- 22. Vollständige Induktion.- 23. Unmöglichkeitsbeweise.- 24. Mannigfaltigkeit von Beweisen.- 25. Das Verhältnis von Definition und Lehrsatzgefüge.- 26. Der Aussagenkalkül der Logistik.- 27. Der Funktions- oder Prädikatenkalkül.- Zweites Kapitel: Grundlegung der Geometrie.- 1. Geschichtliche und psychologische Entwicklung.- 2. Grundbegriffe.- 3. Der Begriff Fläche.- 4. Der Begriff der Kurve.- 5. Der Begriff der Länge.- 6. Praktische Erzeugung von Gerade und Ebene.- 7. Arithmetisierung der Geometrie.- 8. Forderungen und Grundgesetze bei Euklid.- 9. Was sind Axiome?.- 10. Vollständigkeit des Axiomensystems.- 11. Die Axiome der Verknüpfung.- 12. Die Unabhängigkeit der Axiome.- 13. Geometrie als Beziehungslehre.- 14. Beispiele von Bildgeometrien.- 15. Ausfallsgeometrie.- 16. Widerspruchslosigkeit.- 17. Die Axiome der Anordnung.- 18. Die Axiome der Verknüpfung und die Wirklichkeit.- 19. Die Axiome der Anordnung und die Wirklichkeit.- 20. Unterschied zwischen Axiomenraum und Sinnenraum.- 21. Die Anschauung.- 22. Trugschlüsse.- 23. Der Begriff der Kongruenz.- 24. Die Gruppe derKongruenzaxiome.- 25. Freiheit in der Wahl der Grundbegriffe.- 26. Parallelenaxiom und nichteuklidische Geometrie.- 27. Die nichteuklidischen Geometrien.- 28. Zerlegungsgleichheit und archimedisches Axiom.- 29. Zerlegungsgleichheit, Ergänzungsgleichheit, Flächengleichheit.- 30. Das Vollständigkeitsaxiom.- 31. Der vierdimensionale Raum.- 32. Die regelmäßigen Polytope im vierdimensionalen Raum.- 33. Polytope im mehrdimensionalen Raum.- 34. Der Weg vom Sinnenraum zur abstrakten Geometrie.- 35. Der Weg von der abstrakten Geometrie zum Sinnenraum.- Drittes Kapitel: Grundlegung der Arithmetik.- 1. Zahl und Zählen.- 2. Die vier Grundrechenarten im Bereiche der natürlichen Zahlen.- 3. Der Bereich der rationalen Zahlen.- 4. Die Rechenoperationen im erweiterten Zahlbereich.- 5. Verbot der Division durch Null.- 6. Widerspruchslosigkeit.- 7. Die Rechenoperationen dritter Stufe.- 8. Die Irrationalzahlen.- 9. Der Dedekindsche Schnitt.- 10. Komplexe Zahlen.- 11. Axiome der Arithmetik.- 12. Unabhängigkeit der Axiome.- 13. Zurückführung auf Axiome für die natürlichen Zahlen.- 14. Peanos Axiomensystem für natürliche Zahlen.- 15. Peanos Axiomensystem in Begriffsschrift.- 16. Die vollständige Induktion.- 17. Der Begriff der Menge.- 18. Begriff der Äquivalenz.- 19. Äquivalenzuntersuchungen.- 20. Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar.- 21. Kontinuumsuntersuchungen.- 22. Mengen, die weder abzählbar noch Kontinuum sind.- 23. Transfinite Zahlen.- 24. Paradoxien der Mengenlehre.- 25. Geordnete Mengen.- 26. Ähnlichkeit geordneter Mengen.- 27. Vom Rechnen mit Ordnungstypen.- Viertes Kapitel: Grundlegung der Analysis.- 1. Unendlich als Anzahlbezeichnung.- 2. Naive Benutzung von Grenzwerten.- 3. Unendliche Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Die Irrationalzahl.- 6.Unendliche Reihen.- 7. Die Veränderliche.- 8. Die Funktion.- 9. Grenzwerte von Funktionen.- 10. Stetigkeit.- 11. Differenzierbarkeit.- 12. Differentiale.- 13. Flächeninhalt und Integral.- 14. Rauminhalt, Cavalierisches Prinzip, Grenzübergang.- 15. Bestimmtes und unbestimmtes Integral.- 16. Fortschreitender Abstraktionsprozeß in der Mathematik.- 17. Begriffliche Vereinheitlichung in der Mathematik.- Fünftes Kapitel: Mathematik und Erkenntnislehre.- 1. Fragen an die Philosophie.- 2. Der Logismus.- 3. Der Empirismus.- 4. Der Formalismus.- 5. Mathematik und Forschung.- 6. Mathematik und Lehre.- 7. Der Kritizismus.- 8. Der Konventionalismus.- 9. Der Intuitionismus.- 10. Angewandte Mathematik.- 11. Mathematik und Erziehung.